本文是關於橢圓曲線加密的非常基礎的介紹。內容雖然基礎，但對於橢圓曲線加密的門外漢來說，簡單易懂，適合於初學者。
原文標題：《一文讀懂橢圓曲線加密學》
作者：Lane Wager
翻譯：王澤龍
這是一篇橢圓曲線密碼學的基本介紹。我假設本文的絕大多數讀者來這裏的目的是：瞭解爲什麼橢圓曲線加密是一種有效的加密工具，以及它爲什麼有效。我試圖用通俗的方式來解釋它，我將跳過論證與實現的細節，轉而聚焦在其運行原則上。
橢圓曲線示例
它是做什麼的？
橢圓曲線加密是一種加密數據方法，只有特定人，才能對其進行解密。它在現實生活中有許多應用場景，但其主要應用在於加密互聯網上的數據與流量。例如，橢圓加密曲線可以用於確保一封郵件何時發送，且除了收件人外無人可以讀取該郵件。
橢圓曲線加密是公鑰加密技術
公鑰加密風情萬千，橢圓曲線加密只是其中一種風味。其他加密算法還有 RSA,DiffieHelman，等等。我將簡單交代公鑰加密的大體背景作爲開頭，進而展開我們後續的闡述，以此更深入理解橢圓曲線加密。有空時，你可以花些時間深入研究公鑰密碼學知識。
如下圖所示，公鑰加密允許以下過程發生 :
上圖展示了兩個鑰匙，一個公鑰和一個私鑰。這些密鑰用於加密和解密數據，這使得世界上的任何人都可以在傳輸時看到加密數據，但無法讀取信息。
讓我們假設 Fcebook 將收到來自特朗普的私密貼。Facebook 需要能夠確保特朗普通過網絡發文時，沒人（包括 NSA 或互聯網服務供應商）可在其中閱讀該消息。使用公鑰加密後，整個數據傳輸過程呈現如下狀態 :
l 特朗普告知 Facebook 他將向後者發送一篇私密帖
l Facebook 將其公鑰發送給特朗普
l 特朗普使用公鑰加密其帖子：
“我喜愛福克斯（Fox）與朋友們”+公鑰 =“s80s1s9sadjds9s”
l 特朗普只把加密後的信息發送給 Facebook
l Facebook 使用他們的私鑰解密消息：
“s80s1s9sadjds9s” +私鑰 =“我喜愛福克斯（Fox）與朋友們”
如你所見，這是一項非常有用的技術。以下是其中的一些要點：
l 公鑰可發送給任何人，它是公開的
l 私鑰必須被妥善保管，因爲如果某人獲取了私鑰，他們便可以解密信息
l 計算機可以迅速地用公鑰來加密消息，並用私鑰來解密消息
l 如果沒有私鑰，計算機可能需要花費極長的時間（數百萬年）來破解加密後的消息
它是怎樣運作的：陷門函數
所有公鑰加密算法的關鍵在於它們各自都有其獨特的陷門函數。陷門函數只能被單向計算，或者至少只能容易地單向計算（使用現代計算機在不到幾百萬年的時間內）
不是陷門函數：A+B=C
如果被給到 A 與 B，我就可以算出 C。問題是如果我被給到 B 與 C，我也可以算出 A。並非是陷門函數。
陷門函數：
“我喜愛福克斯（Fox）與朋友們”+公鑰 =“s80s1s9sadjds9s”
如果我被給到“我喜愛福克斯（Fox）與朋友們”+公鑰 , 我可以得出“s80s1s9sadjds9s”，但是如果我被給到“s80s1s9sadjds9s”與公鑰，那我無法得出信息：“我愛福克斯（Fox）與朋友們”。
在 RSA （可能是最流行的公鑰系統）中，陷門函數主要取決於將大數字納入其主要因子的難度。
公鑰：944,871,836,856,449,473
私鑰：961,748,941 and 982,451,653
在以上的例子中，公鑰是一個非常大的數字，私鑰是公鑰的兩個主要因子。這是陷門函數的一個好的例子，因爲在私鑰中很容易將多個數字相乘以獲取公鑰，但如果你擁有的只是公鑰，那將花費一臺電腦很長的時間才能重建私鑰。
注意 : 在真實的加密中，私鑰需要 200+位數以上的長度以確保安全。
是什麼讓橢圓曲線加密與衆不同
人們使用橢圓曲線加密的理由跟 RSA 完全相同。它生成公私鑰對並允許兩方安全溝通。然而，橢圓曲線加密有一勝過 RSA 的優勢。橢圓曲線加密中 256 位數的密鑰所提供的安全性與 RSA 算法中 3072 位數密鑰所提供的安全性相同。這意味着在資源有限的系統中，如智能手機、嵌入式電腦、加密網絡，橢圓曲線加密相較於 RSA 加密算法，它使用的硬盤空間和帶寬不到 RSA 算法的 10%。
（譯註：也就是說，橢圓曲線加密比 RSA 算法在資源有限的情況下，更省資源，可行性更高。）
橢圓曲線加密的陷門函數
這可能是絕大多數讀者閱讀本文的原因。這是橢圓曲線加密有別於 RSA 加密算法的部分，也是它的特殊之處。陷門函數類似於池中的數學遊戲。我們從曲線上的某一點開始。我們使用一個“點函數”（dot function）來發現一個新的點。不斷重複“點函數”並圍繞曲線跳躍（hop），直到我們最終抵達最後一個點上。讓我們看看以下整個算法。
l 從 A 點開始；
l A 點 B=-C （從 A 到 B 點畫一條線並最終落在-C 點）
l 從-C 到 C 跨 X 軸反射；
l A 點 C=-D （從 A 點向 C 點畫一條線並最終落在-D）
l 從-D 到 D 跨 X 軸反射；
l A 點 D=-E （從 A 向 D 畫一條線並最終落在-E）
l 從-E 到 E 跨 X 軸反射
這是一個偉大的陷門函數，因爲如果你知道哪裏是起點（A）以及需要多少跳才能達到終點 E，那麼找到終點會很容易。從另一方面來說，如果你知道的只是起點與終點的位置，那麼，要發現需要多少跳才能抵達終點幾乎是不可能的。
公鑰：起點 A，終點 E；
私鑰：從 A 到 E 的跳數
有問題嗎 ?
以下是我初次瞭解橢圓曲線加密時所產生的相關問題。希望我能妥善地解決它們。
如何發現第二點？如果點函數（dot function）只是在兩點之間畫一條線，難道不需要第二點來幫助開始嗎 ?
回答：不需要。第二點（我們將其稱爲下圖中的-R 點）實際上是 P 點函數 P （讓我們假設第一個點被稱爲 P)
P 點函數 P=-R
那麼，什麼是 P 點函數 P？它實際上只是 P 的切線。請看以下圖片：
如果點函數產生一條線路會走到某個極端，會發生什麼？
如果線沒有抵達靠近原點的曲線，我們實際上可以定義一個最大 X 值，其中線將回繞並從頭開始。有關示例，請參見下圖。
我理解了暗門函數，但實踐中公私鑰是如何創建的？它們是如何與要加密的數據一起使用的？
這是一個好問題，但它要求更深入的答案。在這篇文章中我給出了關於 RSA 與橢圓曲線加密較爲通俗的解釋。然而，還有更多技術資源，我期望你去研究它們。
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