深入分析期權範式數學原理：如何定價 Uniswap V3 「期權」？

Uniswap V3 LP 頭寸類似於賣空看跌期權，在大多數情況下，將其借給期權買家並收取溢價優於簡單地持有它並收取費用。

原文標題：《從 Uniswap v3 來看新的期權範式？》
撰文：Guillaume Lambert

• Uni V3 LP 的頭寸可以分解爲看跌收益和範圍組件。
• Uni V3 頭寸的值是以下兩項的和：1) 空頭頭寸的總和，其值由 Black-Scholes 模型給；2) 範圍項，其閉合表達式由 Feynman-Kac 公式給出。
• 這可以通過將 Uni V3 LP 頭寸轉換爲「固定 DTE」看跌期權來進一步簡化，該看跌期權在到期時的價值收斂於 T_r > 0 時刻的看跌期權。
• 比較 Uni V3 頭寸的預期收益和期權溢價可以幫助確定持有 Uni v3 頭寸或將其「出借」給期權買家是否更有利。

爲了建立 Uniswap v3 LP 頭寸，必須在用戶指定的範圍內鎖定資產（例如 ETH），在用戶指定的範圍 (由低刻度 tL 和高刻度 tH 定義) 之間。該 Uniswap v3 LP 倉位的取值爲：

其中，S 是資產的現金價格，K 是執行價格√(tL*tH)， r 是範圍因子√(tH/tL)。範圍因素決定了持有資產和 numéraire 之間的過渡有多「尖銳」。

那麼多頭期權呢？如果一個人能夠借入一個 Uni V3 LP 頭寸，並在以後償還，這相當於購買了一個看跌期權。用戶在借入 LP 頭寸時將支付固定的溢價。

溢價應該是多少？我們能否使用 Black-Scholes 模型這樣的既定框架來直接爲 Uni V3 頭寸定價 ?

答案是肯定的。

在這篇文章中，我們將展示如何將 V(S) 分解爲一個短線看跌組件 (對應於一個單刻度頭寸) 和一個範圍組件 (僅存在於上 / 下刻度之間) 來實現這一點。

Feynman-Kac 的期權定價

在推導 Uni V3 期權的價格之前，有必要回顧一下常規期權的定價方式。利用 Black-Scholes 模型，有許多方法可以得出常規看漲期權的價格。我最喜歡的方法是使用 Feynman-Kac 公式，該公式表示期權 u(S,t) 的值爲 :

其中 V(x, T) 是到期時的收益函數，平均 ⟨ ⋅ ⟩ 是幾何布朗運動的概率度量。

理解 Feynman-Kac 公式的含義很簡單：期權在 T 時刻的價值是通過計算從現在到未來 T 時刻所有可能價格變動的收益函數的平均值來確定的。

物理學家 Richard Feynman 最初在量子力學的路徑積分形式中提出了一個類似的方程，在這個方程中，一個粒子的「預期」頭寸是由該粒子可能採取的所有路徑的加權和決定的。Mark Kac 意識到他們正在研究一個類似的問題，當時他們都在康奈爾大學，他聽了 Feynman 的演講，那次合作產生了 Feynman-Kac 公式。

因此，直接計算 Feynman-Kac 公式，得到 :

對於看漲期權，收益 V(S,T) = max(SK,0)，對於看跌期權，收益 V(S,T) = max(KS, 0)，因此，時間 t 的看漲看跌期權的價值爲 :

要證明這與 Black-Scholes 定價相一致。

定價 Uniswap V3 期權

Feynman-Kac 公式使計算奇異期權的價值變得容易。我們將應用 Feynman-Kac 公式來計算 Uniswap V3 期權的值。

爲了讓事情變得簡單一點，我們首先將 Uni V3 LP 的價值分解爲兩個不同的部分 V(S, t) = V_p(S, t) + V_ρ(S, t)，其中 V_p=-max( KS, 0) 是看跌期權的收益，範圍收益 V_ρ是由以下式給出的：

我們可以圖形化地看到看跌期權和範圍收益如何與 Uni V3 頭寸的價值相關 : 範圍收益在執行價格時是最大的，在上 / 下刻度處爲零 (爲了簡單，我畫出了範圍收益的負值)。

使用這個分解，我們可以使用 Feynman-Kac 公式明確求解在時間 t 的 Uni V3 期權的值。這樣做，我們得到 :

其中，Put(S, t) 是 Black-Scholes 給出的執行 K 處的時看跌期權的熟悉價格。

「範圍期權」ρ(S,t) 分量是嚴格正項，對應於 LP 頭寸的範圍部分的值。通過求解 Feynman-Kac 公式，得到了ρ(S,t) 的一個相當複雜的表達式 :

雖然我們現在對ρ(S,t) 的細節不感興趣，但我們可以從圖形看到，ρ(S,t) 是這樣的 :

我們能讓這個表達式更簡單嗎 ?

Uni V3 頭寸值的表達式相當複雜。幸運的是，我們可以大大簡化分析。

正如我關於在 Uniswap V3 中創建永久期權的文章所示，一個具有範圍因子 r 的 Uni V3 LP 頭寸的良好近似是在時間 T_r 的常規看跌期權，其中

因此，我們可以將 Feynman-Kac 公式給出的期權定價表達式簡化爲一個更簡單的表達式，該表達式利用了上面的範圍因子 /DTE 關係。具體來說，我們得到：

換句話說，Uniswap V3 期權的值相當於一個以固定的到期天數 (DTE) 到期的看跌期權，因此在到期時 DTE > 爲 0。

在到期前，Uni V3 期權的價格仍然受 theta 衰減的影響，但 gamma 將被限制在 45DTE 期權的 gamma。

這個近似有多精確 ? 我們可以在下圖中看到，將固定 DTE 近似值與 Uni V3 期權的計算值進行比較，當範圍因子小於 2 時，固定 DTE 看跌期權近似值與精確解之間的差異並不顯著：

Uni V3 的返回值是否匹配它們的「期權」值 ?

目前，對於 Uni V3 的 LP 來說，唯一的選擇是持有他們的頭寸，直到他們積累了足夠的費用來盈利。沒有協議允許用戶輕鬆地借入 / 出借 Uni V3 LP 頭寸。

但是，如果有這樣的一個協議，那麼 Uni V3 流動性提供者借出其 LP 頭寸所收到的溢價將由 Black-Scholes 模型給出，該模型具有取決於範圍因子 r 的「固定 DTE」。相比之下，如果不考慮頭寸並簡單地收取費用，費用也會累積。

因此，在 Uni V3 LP 頭寸被鑄造 / 出借 / 借入並作爲期權交易的世界中，一個關鍵的問題是，是否這樣做會更好：

持有 LP 頭寸一段時間 T，收取 0.05- 0.3% -1% 的費用

或

「出借」期權期限爲 T，收取固定的保費

讓我們通過分析這兩個場景的預期收益率來探討這個問題。

保持 LP 頭寸

首先，如果將流動性部署到單次報價，則單位流動性 ΔL 的預期 LP 回報爲：

其中γ是費用等級 (如 :0.01、0.003 或 0.0005)，「Tick Liquidity」是當前價格池中的流動性數量。√(8/π)=1.5957691216…的因子來自假設價格遵循幾何布朗運動的情況下推導出在價內花費的時間。

這裏的關鍵是，預期收益的增長是√T。因此，由於對於更廣泛的頭寸，費用隨時間線性累積，我們將只考慮單點頭寸。

重要的是，這意味着 LP 回報將取決於池的總規模和部署的 tick 處的總流動性。

在下面的示例中，我們考慮在 ETH-DAI-0.3% 池中的 3990 刻度處部署一個頭寸。由於該池的日交易量爲 1571 萬美元，3990 點的鎖定價值爲 70.60ETH = 281694 美元，相對 LP 回報應該是每√天約 1.6% 或每年約 30%(假設年化波動率爲 100%)。

相比之下，將相同的流動性配置到 ETH-USDC-0.03% 這類資產池中，LP 頭寸每√天的回報率爲 1.37%，即每年 26.2%。一些池子產生的收益比其他池子多。

一些池的預期回報率非常高，主要是因爲與交易量相比，它們的每點流動性相對較低。

例如，一個新上市的代幣，如 RBN，在當前的價值爲 2500 萬美元的情況下，只有 50 萬美元的鎖定價值。

向期權買家出借 Uni V3 LP 頭寸

另一方面，用戶可能希望創建一個 Uni V3 LP 頭寸，並將其借給另一個用戶一段時間 T 以獲取溢價。

具體而言，收到的保費將爲 :

除了時間按照 t→(t+T_r) 轉換外，這是對空頭看跌期權價值的熟悉表達式。

這個表達式將取決於特定的底層證券，執行價格 K，隱含波動率σ和到期時間 t . 如果我們認爲期權是「平價」鑄造的，LP 頭寸執行價格的 K 等於當前價格，然後看跌期權的價值是：

有趣的是，這個表達式也依賴於時間的平方根。這意味着我們可以直接將每單位部署流動性收到的溢價與通過持有 LP 頭寸和收取費用獲得的預期回報進行比較。

如果我們考慮一個單次報價倉位，那麼 T_r 將爲 0，(Tt) 將是該倉位的持有時間（如果持有至到期）。

因此，我們只需要比較√T 項相乘的因素，就能找到哪種策略最有利：

假設年波動率爲 100%，這意味着如果每日交易量 / 即時流動性比率大於以下值，持有期權只會產生大於借出期權的回報：

可能需要計算每個池的實際日交易量、tick 流動性和已實現的波動性，以準確判斷是否滿足上述標準 (每個池可能會發生變化)。

與它們鎖定的流動性相比，一些池子的日交易量確實很大。只有當持有比率大於 1 時，持有這些資產池的頭寸纔會產生高於期權溢價的預期收益。

目前，只有上面強調的 UNI/ETH, HEX/USDC 和 RBN/ETH 池可以產生更高的投資回報。持有比率 < 1 的任何貨幣對都會表現不佳，將它們作爲期權出借。

換句話說，將大多數 Uni V3 交易對的 Uni V3 LP 頭寸作爲 ATM 期權出借，比持有+收取費用更有利可圖。

要點

我們的結果表明，Uni V3 頭寸類似於賣空看跌期權，在大多數情況下，將其借給期權買家並收取溢價，而不是簡單地持有它並收取費用。

這意味着什麼 ? 首先，這表明，建立一個基於 Uniswap V3(或 SushiSwap 即將推出的集中流動性池) 的健康期權市場，可能會增加流動性提供者收集的收益率。

其次，LP 不僅可以產生更多的收益，期權買家還可以通過購買看跌期權來保護自己的投資。ETH-穩定幣對期權可以有效地由 Opyn、Pods Finance 或 Lyra Finance 等協議有效處理，但它將挑戰建立智能交易合約存在的每個可能的資產對的期權 (成千上萬的市場存在 Uniswap 長尾結束的加密資產)。

最後，人們在解釋 Uniswap V3 或 SushiSwap 上集中流動性頭寸部署的方式時，需要進行文化上的轉變。雖然恆定產品 AMM 更易於理解和管理，但與集中流動性 AMM 相比，它們容易出現重大的非永久性損失，並且資本使用效率非常低。

做空期權交易本質上是一種有利可圖的行爲 (因爲隱含波動率往往高於實際波動率)，但管理做空期權投資組合不是一種買入並持有的被動策略。做空期權和 Uni V3 LP 頭寸必須被積極管理，但積極投資並不意味着每天每時每刻都在觀察圖表和交易。有了正確的工具，成爲一個積極的投資者每天只需要不到 5 分鐘。

來源鏈接：lambert-guillaume.medium.com